Парадокс "Лжец"

Одним из самых известных, простых и интересных среди всех логических парадоксов является парадокс "Лжец", сформулированный греческим философом Эвбулидом из Милета в IV веке до н.э. (а некоторые утверждают, что он был известен и раньше)
И именно в связи с ним я вспомнила задачу о стражниках.

В самом простом варианте этот парадокс сводится к одному единственному предложению.
Человек говорит: "Я лгу".
Всё.
Если он говорит правду, значит, он лжет, если же он действительно лжет, то он говорит правду.

Можно увидеть этот парадокс и в другой формулировке: если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.

А вот все помнят анекдот про блондинку?

— Как занять блондинку минимум на полчаса?
— Взять лист бумаги и написать с двух сторон: "ПЕРЕВЕРНИ"!

Так вот, парадокс лжеца формулируется и в таком виде!
Пусть у нас есть лист бумаги, на одной (лицевой) стороне которого есть надпись: "На другой стороне этого листа написано истинное высказывание" — и ничего более.
На другой же стороне надпись такова: "На другой стороне этой карточки написано ложное высказывание" — и опять-таки ничего более.
И вот тут все мы оказываемся в роли той самой "блондинки".
Вертим лист туда-сюда...
Предположим, что утверждение на лицевой стороне — истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение с лицевой стороны ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. Выходит, что данное утверждение не может быть ни истинным, ни ложным. Но это противоречит принципу исключенного третьего.

Парадокс очень простой, и тем не менее, очень впечатляющий.
Не может ведь быть, чтобы классическая логика буксовала в таких простых вещах!
Однако же, мы видим, что это так.
Сейчас мы гораздо более устойчивы к подобного рода "казусам", а вот впечатлительным древним грекам пришлось очень непросто...
Говорят даже, что некий Филит Косский покончил жизнь самоубийством, не в силах ни разрешить парадокс лжеца, ни смириться с его существованием...

О развенчании парадокса «Лжец»

Говорят, этот парадокс развенчал уже Аристотель. Но, честно говоря, я его трудов по этому поводу не читала.
То развенчание, о котором буду писать я, (даже нет: тут надо множественное число, – развенчаний будет много) относится (я так полагаю) к более позднему периоду.

Первое развенчание (как раз примерно аристотелевской поры) сводилось к тому, что здесь имеет место наша (моя) любимая рекурсия! Утверждение апеллирует к самому себе, то есть, имеет ссылку на самое себя. А это (якобы) означает, что оно бессмысленно!
И, значит, здесь вообще НЕ О ЧЕМ ГОВОРИТЬ! ЧТД! )))

Развиваясь, наука вообще и логика в частности пришли к понятию метаязыка.
То есть «языка над языком», языка, который содержит не имена объектов (предметов, процессов и явлений) действительности, а имена общие, не имеющие конкретного денотата, имена, именующие другие имена. (Это если так изъясняться не совсем научно, и где-то даже поэтически))

Не буду дальше упражняться в красноречии, поскольку еще раз подчеркну, я разочарована...
Не качеством логических построений, вовсе нет! Они где-то прекрасны ))) Тем более, что они неявно явно опираются на теорему Гёделя о неполноте!
Но всё-таки сам парадокс гораздо красивее их…
Поэтому привожу большую цитату из статьи и прячу ее под кат.

читать дальшеС развитием логики в нем стали видеть смешение двух языков: языка, на котором говорится о предметах, существующих в мире, и языка, служащего для описания самого такого "предметного" языка. В нашем обычном языке эти два уровня не различаются.
Было предложено другое объяснение, основанное на анализе одной весьма необычной особенности этого высказывания. Дело в том, что это высказывание одновременно является актом действия; причем как раз то, что в этом высказывании утверждается, в то же время становится и действием. Более того, высказывание и действие разорвать нельзя. Такие высказывания встречаются не так уж и редко. Например: "Я клянусь", "Я говорю", "Я лгу" (т.е.: "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно"), "Я слушаю" и т.п. Высказывания такого рода называются "перформативными" и к ним как считают некоторые авторы, не применимы какие-либо оценки их истинности. Их истинность зависит от того, когда, кем и где они употребляются.
Выше было сказано, что парадокс "Лжец" возникает из-за смешения двух языков. Как же связан этот парадокс с ними. Еще античные философы заметили, что каждое высказывание естественного языка выражает определенную мысль, но не несет никакой информации о том, истинна ли эта мысль или нет. Более того, они показали, что именно это утверждение об истинности того или иного высказывания не может быть выражено в естественном языке. Рассуждали они следующим образом. Пусть A0 есть некоторое высказывание, например: "1 января шел снег", и пусть это событие действительно имело место. Но так как из содержания высказывания А0 не следует, что оно истинно, то необходимо дополнительное высказывание A1: "Высказывание A0 истинно". Нетрудно, однако, заметить, что истинность высказывания A1 тоже ниоткуда не следует. Поэтому необходимо новое высказывание А2: "Высказывание A1 истинно" и т.д. до бесконечности.
Получается, что понятие истинности действительно не выразимо средствами естественного языка.
Впрочем это не совсем так. На самом деле доказано только то, что выше описанным способом нельзя выразить утверждение об истинности высказывания A0. Поэтому остается вопрос: "А нельзя ли это сделать каким-либо другим способом?" И вообще, неужели утверждение об истинности или ложности какого-либо конкретного высказывания нельзя сформулировать так, чтобы достоверность этого утверждения не вызывала сомнений?
Ответить на этот вопрос удалось только в начале XX века. К этому времени было осознано, что каждая теория описывает какую-то свою, вполне определенную предметную область и пользуется при этом только такими языковыми средствами, которые для этого необходимы. Если, например, взять арифметику, то ее предметной областью является множество натуральных чисел, а необходимым для описания этой области языком является язык, на котором можно говорить об операциях и отношениях, заданных на множестве натуральных чисел. Как же обстоит дело с "истинностью" арифметических высказываний? Общепринятое определение истинности как соответствия реальному положению дел в данном случае оказывается недостаточно ясным. Во-первых, существуют такие высказывания, непосредственная проверка истинности которых невозможна или весьма затруднительна. (Это, например, гипотеза о невозможности существования четверок Ферма.) Во-вторых, формализованные теории вообще абстрагируются от практики и выводят свои теоремы из одних только аксиом. В третьих, выяснилось, что даже после уточнения понятия "истинности", множество истинных формул арифметики тем не менее оказывается неописуемым на предметном языке арифметики. Это значит, что понятие "истинности" не выразимо на языке арифметики. Значит, это понятие относится к другому языку!
Таким образом, можно придти к выводу, что в познании существуют два уровня — две иерархические ступени. На первом уровне строится теория, описывающая некоторую предметную область (в данном случае— арифметику). Для описания этой области используется специальный, заранее фиксированный предметный язык. На втором уровне возникает метатеория, предметом исследования которой становится ранее созданная предметная теория первого уровня. В метатеории исследуется, в частности, вопрос об "истинности" высказываний предметной теории. Для этой цели используется специальный метаязык.
Предметный язык и метаязык — это разные языки, это языки, относящиеся к различным иерархическим уровням. Игнорирование этого обстоятельства неминуемо должно привести к противоречиям. Примером может послужить описанный выше парадокс "Лжеца". Покажем, что это действительно так.
С одной стороны, предложение "Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно" относится к метаязыку, поскольку в нем говорится о ложности некоторого высказывания.
С другой стороны, поскольку о каком-то высказывании говорится, что оно ложно, то высказывание, ложность которого утверждается, должно относиться к предметному языку. Но в данном случае высказывание утверждает ложность самого себя. Значит, само это высказывание должно относится к предметному языку. Получается, что рассматриваемое предложение относится и к метаязыку, и к предметному языку. Но это же разные языки. Игнорирование этого различия и привело к парадоксу.

(c) Андреева Т.Ю., Саушкин М.Н. "Логические парадоксы"